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2010-2011学年湖北省襄阳市襄城区卧龙中学八年级(下)数学测试题:勾股定理

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2010-2011 学年湖北省襄阳市襄城区卧龙中学八年 级(下)数学测试题:勾股定理

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2010-2011 学年湖北省襄阳市襄城区卧龙中学八年 级(下)数学测试题:勾股定理
一、选择题(共 15 小题,每小题 3 分,满分 45 分) 1. (3 分)下列各组数中,以 a,b,c 为边的三角形不是直角三角形的是( A.a=3,b=4,c=5 B.a=7,b=24,c=25 C.a=4,b=5,c=6 ) D.a=6,b=8,c=10

2. (3 分)在下列长度的各组线段中,能构成直角三角形的是( ) A.12,15,27 B.32,42,52 C.5a,12a,13a(a>0) D.a,2a,3a(a>0) 3. (3 分)等腰三角形底边长 10cm,腰长为 13cm,则此三角形的面积是( A.40cm2 B.50cm2 C.60cm2 4. (3 分)若一直角三角形两边长分别为 12 和 5,则第三边长为( ) A.13 B.13 或 C.13 或 15 5. (3 分)一个长方形的对角线长为 26cm,它的长:宽=12:5,那么它的周长为( A.34cm B.36cm C.66cm
2

) D.70cm2

D.15 ) D.68cm

6. (3 分)以面积为 9cm 的正方形的对角线为边作一个正方形,这个正方形的面积是( ) 2 2 2 A.9cm B.12cm C.18cm D.24cm2 7. (3 分)已知 Rt△ ABC 中,∠C=90°,若 a+b=14cm,c=10cm,则 Rt△ ABC 的面积是( ) 2 2 2 A.24cm B.36cm C.48cm D.60cm2 8. (3 分)已知△ ABC 的三个内角之比∠A:∠B:∠C=1:2:1,则三边之比 AB:BC:CA 是( A.1:1: B.l: :1 C.1:l:2 D.l:4:l )

9. (3 分) (2002?南通)如图,有一块直角三角形纸片,两直角边 AC=6cm,BC=8cm.现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠,使它落在斜边 AB 上,且与 AE 重合,则 CD 等于( )

A.2cm

B.3cm

C.4cm

D.5cm
2 2

10. (3 分)如图所示,在△ ABC 中,∠C=90°,D 为 BC 边的中点,DE⊥AB 于 E,则 AE ﹣BE 等于(



A.AC2

B.BD2

C.BC2

D.DE2

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www.jyeoo.com 11. (3 分)在△ ABC 中,∠ACB=90°,AC=12,BC=5,AM=AC,BN=BC,则 MN 的长为(



A .2

B.2.6

C .3

D.4

12. (3 分) (2007?芜湖)如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边 长为 10cm,正方形 A 的边长为 6cm,B 的边长为 5cm,C 的边长为 5cm,则正方形 D 的边长为( )

A.

cm

B.4cm

C.

cm

D.3cm )

13. (3 分) (2007?连云港) 如图, 直线 l 上有三个正方形 a, b, c, 若 a, c 的面积分别为 5 和 11, 则 b 的面积为 (

A .4

B.6

C.16

D.55

14. (3 分)如图,在单位正方形组成的网格图中标有 AB、CD、EF、GH 四条线段,其中能构成一个直角三角形三 边的线段是( )

A.CD、EF、GH

B.AB、EF、GH

C.AB、CD、GH

D.AB、CD、EF

15. (3 分) (2008?温州)以 OA 为斜边作等腰直角三角形 OAB,再以 OB 为斜边在△ OAB 外侧作等腰直角三角形 OBC,如此继续,得到 8 个等腰直角三角形(如图) ,则图中△ OAB 与△ OHI 的面积比值是( )

A.32

B.64

C.128
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D.256

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www.jyeoo.com 二、填空题(共 12 小题,每小题 3 分,满分 36 分) 16. (3 分)三角形三边长为 8,15,17,则最短边上的高为 _________ . 17. (3 分)等腰直角三角形的斜边长为 2cm,则该三角形的面积为 _________ . cm.

18. (3 分)若直角三角形的斜边长为 25cm,一条直角边长为 20cm,则斜边上的高为 _________

19. (3 分) (2006?深圳) 在△ ABC 中, AB 边上的中线 CD=3, AB=6, BC+AC=8, 则△ ABC 的面积为 _________ . 20. (3 分) (2011?衡阳)如图所示,在△ ABC 中,∠B=90°,AB=3,AC=5,将△ ABC 折叠,使点 C 与点 A 重合, 折痕为 DE,则△ ABE 的周长为 _________ .

21. (3 分) (2007?江苏)如图是一个外轮廓为矩形的机器零件*面示意图,根据图中的尺寸(单位:mm) ,计算两 圆孔中心 A 和 B 的距离为 _________ mm.

22. (3 分) (2006?河南)如图所示,把腰长为 1 的等腰直角三角形折叠两次后,得到的一个小三角形的周长是 _________ .

23. (3 分) (2009?阳泉二模)如图,一个透明的圆柱形状的玻璃杯,由内部测得其底面半径为 3cm,高为 8cm,今 有一支 12cm 的吸管任意斜放于杯中,若不考虑吸管的粗细,吸管露出杯口长度最少为 _________ cm.

24. (3 分)四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间空出的部分是一个小正方形,这样就组成了一个“赵爽 弦图”(如图) .如果小正方形面积为 1,大正方形面积为 25,则直角三角形中较小的直角边与斜边之比为 _________ .

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25. (3 分) (2008?临沂)如图,以等腰三角形 AOB 的斜边为直角边向外作第 2 个等腰直角三角形 ABA1,再以等 腰直角三角形 ABA1 的斜边为直角边向外作第 3 个等腰直角三角形 A1BB1,…,如此作下去,若 OA=OB=1,则第 n 个等腰直角三角形的面积 Sn= _________ .

26. (3 分) (2009?安顺)下图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的.若 AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为 6 的直角边分别向外延长一倍,得到如图所示的“数学风车”,则这个风 车的外围周长是 _________ .

27. (3 分)给出一组式子:4 +3 =5 ,6 +8 =10 ,8 +15 =17 ,10 +24 =26 ,根据上述式子中的规律,第五个式子 是 _________ . 三、解答题(共 3 小题,满分 19 分) 28. (6 分)如图,△ ABC 中,AB=15cm,AC=13cm,BC=14cm,求△ ABC 的面积.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

29. (6 分)小明想知道旗杆的高度,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了 2 米,当他把绳子的下端拉开旗杆底部 8 米时,发现绳子的末端刚好接触地面,求旗杆的高度. 30. (7 分)“中华人民共和国道路交通管理条例”规定:小汽车在城街路上行驶速度不得超过 70km/h.如图,一辆 小汽车在一条城市街路上直道行驶, 某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪 A 处的正前方 30m 的 C 处, 过了 2s 后, 测得小汽车与车速检测仪间距离为 50m,这辆小汽车超速了吗?(参考数据转换:1m/s=3.6km/h)

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2010-2011 学年湖北省襄阳市襄城区卧龙中学八年 级(下)数学测试题:勾股定理
参考答案与试题解析
一、选择题(共 15 小题,每小题 3 分,满分 45 分) 1. (3 分)下列各组数中,以 a,b,c 为边的三角形不是直角三角形的是( A.a=3,b=4,c=5 B.a=7,b=24,c=25 C.a=4,b=5,c=6

) D.a=6,b=8,c=10

考点: 勾股数. 分析: 根据勾股定理的逆定理:如果三角形有两边的*方和等于第三边的*方,那么这个是直角三角形判定则 可.如果有这种关系,就是直角三角形,没有这种关系,就不是直角三角形. 解答: 解:A,32+42=25=(5)2,符合勾股定理的逆定理,是直角三角形,故此选项错误; 2 2 2 B,7 +24 =25 ,符合勾股定理的逆定理,是直角三角形,故此选项错误; 2 2 2 C,4 +5 =41≠6 ,不符合勾股定理的逆定理,不是直角三角形,故此选项正确; 2 2 2 D,6 +8 =100=10 ,符合勾股定理的逆定理,是直角三角形,故此选项错误; 故选:C. 点评: 本题考查了勾股定理的逆定理,在应用勾股定理的逆定理时,应先认真分析所给边的大小关系,确定最大 边后,再验证两条较小边的*方和与最大边的*方之间的关系,进而作出判断.
313518

2. (3 分)在下列长度的各组线段中,能构成直角三角形的是( ) A.12,15,27 B.32,42,52 C.5a,12a,13a(a>0) D.a,2a,3a(a>0) 考点: 勾股定理的逆定理. 分析: 欲求证是否为直角三角形,这里给出三边的长,只要验证两小边的*方和等于最长边的*方即可. 2 2 2 解答: 解:A、12 +15 ≠27 ,故此选项错误; 2 2 2 B、32 +42 ≠52 ,故此选项错误; 2 2 2 C、5a +12a =13a ,故此选项正确; 2 2 2 D、a +2a ≠3a ,故此选项错误. 故选:C. 点评: 此题考查了勾股定理的逆定理,在应用勾股定理的逆定理时,应先认真分析所给边的大小关系,确定最大 边后,再验证两条较小边的*方和与最大边的*方之间的关系,进而作出判断.
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3. (3 分)等腰三角形底边长 10cm,腰长为 13cm,则此三角形的面积是( A.40cm2 B.50cm2 C.60cm2

) D.70cm2

考点: 勾股定理;等腰三角形的性质. 分析: 可先作出简单的图形,如下图,再求解直角三角形得出三角形的高,即可求解其面积. 解答: 解:如图:等边△ ABC 中 BC=10cm,AB=AC=13cm, 作 AD⊥BC,垂足为 D,则 D 为 BC 中点,BD=CD=5cm, 在 Rt△ ABD 中, 2 2 2 2 2 AD =AB ﹣BD =13 ﹣5 =144, ∴AD=12cm,
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∴S△ ABC= ×10×12=60(cm ) .
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2

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www.jyeoo.com 故选 C.

点评: 本题主要考查了勾股定理的运用,会求解三角形的面积问题,难度适中. 4. (3 分)若一直角三角形两边长分别为 12 和 5,则第三边长为( ) 13 A. B.13 或 C.13 或 15

D.15

考点: 勾股定理. 分析: 本题已知直角三角形的两边长,但未明确这两条边是直角边还是斜边,因此两条边中的较长边 12 既可以是 直角边,也可以是斜边,所以求第三边的长必须分类讨论,即 12 是斜边或直角边的两种情况,然后利用勾 股定理求解. 解答: 解:当 12 是斜边时,第三边是 = ;
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当 12 是直角边时,第三边是

=13.

故选 B. 点评: 如果给的数据没有明确,此类题一定要分情况求解. 5. (3 分)一个长方形的对角线长为 26cm,它的长:宽=12:5,那么它的周长为( A.34cm B.36cm C.66cm ) D.68cm

考点: 矩形的性质;勾股定理. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,设矩形的长与宽分别为 12k,5k,利用勾股定理列式计算求出 k 的值,从而求出矩形的长与宽, 然后再根据周长公式列式求解. 解答: 解:设矩形的长与宽分别为 12k,5k(k>0) , 2 2 2 则(12k) +(5k) =26 , 2 整理得 169k =676, 解得 k=2, ∴12k=12×2=24, 5k=5×2=10, ∴矩形的周长为:2(24+10)=68cm. 故选 D. 点评: 本题考查了矩形的四个角都是直角的性质,以及勾股定理的利用,用比给出的数据,利用设“k”法表示通常 运算比较简单.
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6. (3 分)以面积为 9cm 的正方形的对角线为边作一个正方形,这个正方形的面积是( ) 2 2 2 A.9cm B.12cm C.18cm D.24cm2 考点: 正方形的性质;勾股定理. 专题: 计算题. 分析: 先求出正方形的边长是 3cm,再根据正方形的性质以及勾股定理求出对角线的长度,然后利用正方形的面 积公式求解即可. 2 解答: 解:∵正方形的面积是 9cm ,
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2

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www.jyeoo.com ∴边长是 ∴对角线=

=3cm, =3 ,
2 2

以对角线为边的正方形的面积是(3 ) =18cm . 故选 C. 点评: 本题考查了正方形的性质以及勾股定理的运用,根据面积求出边长从而得到对角线的长度是解题的关键. 7. (3 分)已知 Rt△ ABC 中,∠C=90°,若 a+b=14cm,c=10cm,则 Rt△ ABC 的面积是( ) 2 2 2 A.24cm B.36cm C.48cm D.60cm2 考点: 勾股定理;完全*方公式. 2 2 2 分析: 要求 Rt△ ABC 的面积,只需求出两条直角边的乘积.根据勾股定理,得 a +b =c =100.根据勾股定理就可 以求出 ab 的值,进而得到三角形的面积. 解答: 解:∵a+b=14
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∴(a+b) =196 2 2 ∴2ab=196﹣(a +b )=96 ∴ ab=24. 故选 A. 点评: 这里不要去分别求 a,b 的值,熟练运用完全*方公式的变形和勾股定理. 8. (3 分)已知△ ABC 的三个内角之比∠A:∠B:∠C=1:2:1,则三边之比 AB:BC:CA 是( A.1:1: B.l: :1 C.1:l:2 D.l:4:l )

2

考点: 等腰直角三角形;三角形内角和定理. 专题: 计算题. 分析: 利用已知条件和三角形内角和定理求得∠A=∠C=45°,∠B=90°;然后根据等腰直角三角形的性质来计算三 边之比 AB:BC:CA. 解答: 解:∵在△ ABC 中,∠A:∠B:∠C=1:2:1(已知) , ∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理) , ∴∠A=∠C=45°,∠B=90°, ∴AC= AB,AB=AC, ∴AB:BC:CA=1:1: . 故选 A.
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点评: 本题考查了等腰直角三角形、三角形内角和定理.解答该题的关键是挖掘出隐含在题干中的已知条件:三 角形的内角和的 180°. 9. (3 分) (2002?南通)如图,有一块直角三角形纸片,两直角边 AC=6cm,BC=8cm.现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠,使它落在斜边 AB 上,且与 AE 重合,则 CD 等于( )

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A.2cm 考点: 专题: 分析: 解答:

B.3cm

C.4cm

D.5cm

勾股定理. 压轴题. 先根据勾股定理求得 AB 的长,再根据折叠的性质求得 AE,BE 的长,从而利用勾股定理可求得 CD 的长. 解:∵AC=6cm,BC=8cm, ∴AB=10cm, ∵AE=6cm(折叠的性质) , ∴BE=4cm,
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设 CD=x,则在 Rt△ DEB 中,4 +x =(8﹣x) , ∴x=3cm. 故选 B. 点评: 本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力,即:直角三角形两直角边的*方和等于斜边的*方. 10. (3 分)如图所示,在△ ABC 中,∠C=90°,D 为 BC 边的中点,DE⊥AB 于 E,则 AE ﹣BE 等于(
2 2

2

2

2



A.AC2

B.BD2

C.BC2

D.DE2

考点: 相似三角形的判定与性质;因式分解-运用公式法;三角形中位线定理;射影定理. 2 2 分析: 取 AB 的中点 F,连接 DF.观察要求的式子,首先利用*方差公式进行转换,可得 AE ﹣BE =(AE+BE) (AE﹣BE)=AB?2EF=4EF?BF,只需求解 BF?EF 的值; 2 根据射影定理,易证△ DEF∽△BDF,得到 EF?BF=DF .再进一步观察选择题的答案,结合三角形的中位 线定理即可求解. 解答: 解:作 AB 的中点 F,连接 DF,
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则 DF∥AC,DF= AC. 在 Rt△ BDF 中,又 DE⊥AB,得△ DEF∽△BDF. ∴ .
2 2

即 EF?BF=DF = AC . ∴AE ﹣BE =(AE+BE) (AE﹣BE)=AB?2EF=4EF?BF=AC . 故选 A. 点评: 巧妙构造辅助线,运用因式分解的方法把要求的结论进行转换,结合相似三角形的性质以及三角形的中位 线定理进行解答.
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2 2 2

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www.jyeoo.com 11. (3 分)在△ ABC 中,∠ACB=90°,AC=12,BC=5,AM=AC,BN=BC,则 MN 的长为( )

A .2

B.2.6

C .3

D.4

考点: 勾股定理. 分析: 根据勾股定理求出 AC 的长即可解答. 解答: 解:在 Rt△ ABC 中,根据勾股定理,AB=
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=13,

又∵AC=12,BC=5,AM=AC,BN=BC, ∴AM=12,BN=5, ∴MN=AM+BN﹣AB=12+5﹣13=4. 故选 D. 点评: 本题综合考查了勾股定理的应用,找到关系 MN=AM+BN﹣AB 是关键. 12. (3 分) (2007?芜湖)如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边 长为 10cm,正方形 A 的边长为 6cm,B 的边长为 5cm,C 的边长为 5cm,则正方形 D 的边长为( )

A. 考点: 专题: 分析: 解答:

cm 勾股定理. 压轴题.

B.4cm

C.

cm

D.3cm

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根据勾股定理的几何意义,SA+SB+SC+SD=S 最大正方形. 2 解:设正方形 D 的边长为 x.则 6×6+5×5+5×5+x =100; 解得 x= . 故选 A. 点评: 此题貌似复杂,只要找到切入点,根据勾股定理的几何意义即可列方程解答. 13. (3 分) (2007?连云港) 如图, 直线 l 上有三个正方形 a, b, c, 若 a, c 的面积分别为 5 和 11, 则 b 的面积为 ( )

A .4

B.6

C.16
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D.55

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www.jyeoo.com 考点: 勾股定理;全等三角形的性质;全等三角形的判定. 分析: 运用正方形边长相等,结合全等三角形和勾股定理来求解即可. 解答: 解:由于 a、b、c 都是正方形,所以 AC=CD,∠ACD=90°; ∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°,即∠BAC=∠DCE, ∠ABC=∠CED=90°,AC=CD, ∴△ACB≌△DCE, ∴AB=CE,BC=DE;
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在 Rt△ ABC 中,由勾股定理得:AC =AB +BC =AB +DE , 即 Sb=Sa+Sc=11+5=16,故选 C.

2

2

2

2

2

点评: 此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用,结合图形求解,对图形的理解能力要比较强. 14. (3 分)如图,在单位正方形组成的网格图中标有 AB、CD、EF、GH 四条线段,其中能构成一个直角三角形三 边的线段是( )

A.CD、EF、GH

B.AB、EF、GH

C.AB、CD、GH

D.AB、CD、EF

考点: 勾股定理;勾股定理的逆定理. 专题: 网格型. 分析: 设出正方形的边长,利用勾股定理,解出 AB、CD、EF、GH 各自的长度,再由勾股定理的逆定理分别验 算,看哪三条边能够成直角三角形. 解答: 解:设小正方形的边长为 1, 2 2 2 2 2 2 则 AB =2 +2 =8,CD =2 +4 =20, 2 2 2 2 2 2 EF =1 +2 =5,GH =2 +3 =13. 2 2 2 因为 AB +EF =GH , 所以能构成一个直角三角形三边的线段是 AB、EF、GH.故选 B. 点评: 考查了勾股定理逆定理的应用.
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15. (3 分) (2008?温州)以 OA 为斜边作等腰直角三角形 OAB,再以 OB 为斜边在△ OAB 外侧作等腰直角三角形 OBC,如此继续,得到 8 个等腰直角三角形(如图) ,则图中△ OAB 与△ OHI 的面积比值是( )

A.32

B.64

C.128

D.256

考点: 相似三角形的判定与性质. 专题: 压轴题;规律型.

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www.jyeoo.com 分析: △ OAB 与△ OHI 都是等腰直角三角形, 因而这两个三角形一定相似, 面积的比等于相似比的*方, 设△ OHI 2 7 的面积是 1,则△ OHG 的面积是 2,△ OGF 的面积是 2 =4,以此类推则△ OAB 的面积是 2 =128. 7 解答: 解:△ OAB 与△ OHI 的面积比值是 2 ,即 128. 故选 C. (详见分析) 点评: 本题主要考查了相似三角形的面积的比等于相似比的*方. 二、填空题(共 12 小题,每小题 3 分,满分 36 分) 16. (3 分)三角形三边长为 8,15,17,则最短边上的高为 15 . 考点: 专题: 分析: 解答: 勾股定理的逆定理. 计算题.
2 2

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由于 8 +15 =289=17 ,可确定此三角形是直角三角形,于是可知最短边 8 上的高是 15. 2 2 2 解:∵8 +15 =289=17 , ∴此三角形是直角三角形, ∴最短边上的高是 15. 故答案是 15. 点评: 本题考查了勾股定理的逆定理.解题的关键是证明这个三角形是直角三角形. 17. (3 分)等腰直角三角形的斜边长为 2cm,则该三角形的面积为 1cm 考点: 专题: 分析: 解答:
2

2



等腰直角三角形. 推理填空题. 根据等腰直角三角形的性质及勾股定理可求得直角边的长,从而不难求得其面积.
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解:设等腰直角三角形的直角边为 xcm,则其斜边长为 ∵ x=2 ∴x= ∴该三角形的面积= ×
2

xcm

×

=1(cm) .

2

故答案是:1cm . 点评: 此题主要考查学生对等腰直角三角形的性质及勾股定理的运用.解答该题时,注意将隐含在题干中的已知 条件:等腰直角三角形的两条直角边相等,挖掘出来. 18. (3 分)若直角三角形的斜边长为 25cm,一条直角边长为 20cm,则斜边上的高为 12 cm.

考点: 勾股定理. 专题: 计算题. 分析: 先根据勾股定理求出另一条直角边 AC 的长,然后根据三角形的面积= 直角边乘积= 斜边×斜边上的高可
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得出答案. 解答: 解:由题意得:AC=25cm,AB=20cm, 在 RT△ ABC 中,BC= =15cm,
2

∴SABC= AB×BC= AC?BD=150cm , 即 ×25?BD=150, 解得:BD=12cm. 故答案为:12.
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点评: 本题考查勾股定理及三角形的面积,解答本题需要掌握两点,①勾股定理:在任何一个直角三角形中,两 条直角边长的*方之和一定等于斜边长的*方,②三角形的面积= 直角边乘积= 斜边×斜边上的高.

19. (3 分) (2006?深圳)在△ ABC 中,AB 边上的中线 CD=3,AB=6,BC+AC=8,则△ ABC 的面积为 考点: 专题: 分析: 解答: 直角三角形的性质;勾股定理. 压轴题. 本题考查三角形的中线定义,根据条件先确定△ ABC 为直角三角形,再求得△ ABC 的面积. 解:如图,在△ ABC 中,CD 是 AB 边上的中线, ∵CD=3,AB=6, ∴AD=DB=3, ∴CD=AD=DB, ∴∠1=∠2,∠3=∠4, ∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°, ∴∠1+∠3=90°, ∴△ABC 是直角三角形,
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7 .

∴AC +BC =AB =36, 又∵AC+BC=8, ∴AC +2AC?BC+BC =64, 2 2 ∴2AC?BC=64﹣(AC +BC )=64﹣36=28, 又∵S△ ABC= AC?BC, ∴S△ ABC= =7.
2 2

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2

点评: 熟练运用三角形的中线定义以及综合分析、解答问题的能力.关键要懂得:在一个三角形中,如果获知一 条边上的中线等于这一边的一半,那么就可考虑它是一个直角三角形,通过等腰三角形的性质和内角和定 理来证明一个三角形是直角三角形. 20. (3 分) (2011?衡阳)如图所示,在△ ABC 中,∠B=90°,AB=3,AC=5,将△ ABC 折叠,使点 C 与点 A 重合, 折痕为 DE,则△ ABE 的周长为 7 .

考点: 翻折变换(折叠问题) ;勾股定理.

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www.jyeoo.com 专题: 压轴题;探究型. 分析: 先根据勾股定理求出 BC 的长,再根据图形翻折变换的性质得出 AE=CE,进而求出△ ABE 的周长. 解答: 解:∵在△ ABC 中,∠B=90°,AB=3,AC=5, ∴BC= = =4,

∵△ADE 是△ CDE 翻折而成, ∴AE=CE, ∴AE+BE=BC=4, ∴△ABE 的周长=AB+BC=3+4=7. 故答案为:7. 点评: 本题考查的是图形翻折变换的性质,即折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小 不变,位置变化,对应边和对应角相等. 21. (3 分) (2007?江苏)如图是一个外轮廓为矩形的机器零件*面示意图,根据图中的尺寸(单位:mm) ,计算两 圆孔中心 A 和 B 的距离为 150 mm.

考点: 勾股定理的应用. 专题: 压轴题. 分析: 根据图形标出的长度,可以知道 AC 和 BC 的长度,从而构造直角三角形,根据勾股定理就可求出斜边 A 和 B 的距离. 解答: 解:∵AC=150﹣60=90mm,BC=180﹣60=120mm,
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∴AB=

=

mm.

点评: 本题考查正确运用勾股定理.善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键. 22. (3 分) (2006?河南)如图所示,把腰长为 1 的等腰直角三角形折叠两次后,得到的一个小三角形的周长是 1+ .

考点: 翻折变换(折叠问题) ;相似三角形的判定与性质. 分析: 求出三个三角形的相似比,然后利用相似三角形的相似比就是周长比求第三个小三角形的周长. 解答: 解:根据勾股定理可知腰长为 1,则斜边为 ,折叠后所得的三角形与原三角形相似,但斜边成了 1,所
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以相似比是

,同理第三个小三角形与第二个三角形的相似比也

,得到第三个三角形的斜边是 ,所以第三个就是

,所以第一个与第三个的相似比是 ,即 1+ .

即 2:1,第一个三角形的周长为 2+

点评: 此题主要考查相似三角形的性质及翻折变换的性质的综合运用.
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www.jyeoo.com 23. (3 分) (2009?阳泉二模)如图,一个透明的圆柱形状的玻璃杯,由内部测得其底面半径为 3cm,高为 8cm,今 有一支 12cm 的吸管任意斜放于杯中,若不考虑吸管的粗细,吸管露出杯口长度最少为 2 cm.

考点: 专题: 分析: 解答:

勾股定理的应用. 计算题. 吸管露出杯口外的长度最少,即在杯内最长,可用勾股定理解答. 解:如下图所示: ∵底面半径为 3 厘米,高为 8 厘米, ∴AC=6 厘米,BC=8 厘米,
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∴AB=

=

=10 厘米,

∴杯口外的长度最小为:12﹣10=2(厘米) . 故答案为:2.

点评: 本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用,解答此类题目的关键是构造出直角三角形,再利用勾股定理 解答. 24. (3 分)四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间空出的部分是一个小正方形,这样就组成了一个“赵爽 弦图”(如图) .如果小正方形面积为 1,大正方形面积为 25,则直角三角形中较小的直角边与斜边之比为 .

考点: 勾股定理. 2 分析: 设直角三角形的直角边为 a,b,且 b>a.则有 a2+b2=25; (b﹣a) =1.解方程组求 a,b.运用三角函数定 义求解. 解答: 解:设直角三角形的直角边为 a,b,且 b>a.则有
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解之得 a=3,b=4. ∴sinθ= .即直角三角形中较小的直角边与斜边之比为 . 故答案为: . 点评: 此题考查勾股定理及三角函数的定义等知识点,难度中等.
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www.jyeoo.com 25. (3 分) (2008?临沂)如图,以等腰三角形 AOB 的斜边为直角边向外作第 2 个等腰直角三角形 ABA1,再以等 腰直角三角形 ABA1 的斜边为直角边向外作第 3 个等腰直角三角形 A1BB1,…,如此作下去,若 OA=OB=1,则第 n n﹣2 个等腰直角三角形的面积 Sn= 2 .

考点: 等腰直角三角形. 专题: 压轴题;规律型. 分析: 本题要先根据已知的条件求出 S1、S2 的值,然后通过这两个面积的求解过程得出一般化规律,进而可得出 Sn 的表达式. 解答: ﹣1 解:根据直角三角形的面积公式,得 S1= =2 ;
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根据勾股定理,得:AB= ,则 S2=1=2 ; 1 A1B=2,则 S3=2 , n﹣2 依此类推,发现:Sn=2 . 点评: 本题要先从简单的例子入手得出一般化的结论,然后根据得出的规律去求特定的值. 26. (3 分) (2009?安顺)下图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的.若 AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为 6 的直角边分别向外延长一倍,得到如图所示的“数学风车”,则这个风 车的外围周长是 76 .

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考点: 专题: 分析: 解答:

勾股定理. 压轴题. 通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出,然后可求出风车外围的周长. 解:设将 AC 延长到点 D,连接 BD, 根据题意,得 CD=6×2=12,BC=5. ∵∠BCD=90°
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∴BC +CD =BD ,即 5 +12 =BD ∴BD=13 ∴AD+BD=6+13=19 ∴这个风车的外围周长是 19×4=76.

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点评: 本题主要考查勾股定理的应用及识图能力. 27. (3 分)给出一组式子:4 +3 =5 ,6 +8 =10 ,8 +15 =17 ,10 +24 =26 ,根据上述式子中的规律,第五个式子 2 2 2 是 35 +12 =37 . 考点: 规律型:数字的变化类. 专题: 规律型. 分析: 仔细观察式子,发现有如下规律:等式的左边第一个加数是从 2 开始连续的自然数的*方与 1 差的*方, 第二个加数是连续偶数的*方,计算结果是从 2 开始连续的自然数的*方与 1 和的*方; 2 2 2 2 2 2 2 2 解答: 解: (1)3 +4 =(2 ﹣1) +(2×2) =5 =(2 +1) ,
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8 +6 =(3 ﹣1) +(2×3) =10 =(3 +1) , 2 2 2 2 2 2 2 2 15 +8 =(4 ﹣1) +(2×4) =17 =(4 +1) , 2 2 2 2 2 2 2 2 24 +10 =(5 ﹣1) +(2×5) =26 =(5 +1) , … 接下来第 5 个式子为: (6 ﹣1) +(2×6) =(6 +1) , 2 2 2 即 35 +12 =37 ; 2 2 2 故答案为 35 +12 =37 2 2 2 2 2 点评: 本题考查了数字的变化类知识,此题考查的规律为:当 n≥2 时, (n ﹣1) +(2n) =(n +1) . 三、解答题(共 3 小题,满分 19 分) 28. (6 分)如图,△ ABC 中,AB=15cm,AC=13cm,BC=14cm,求△ ABC 的面积.
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考点: 勾股定理. 专题: 数形结合. 分析: 要求△ ABC 的面积,已知底边 BC 的长,根据面积公式,只需求出底边上的高 AD 的长度,设 BD=x,则
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CD=14﹣x,根据 AB ﹣BD =AC ﹣CD 可解出 x 的值,从而求出 AD,这样根据△ ABC 的面积= ?BC?AD 也就得出了答案. 解答: 解: ∵AD 是 BC 边上的高, ∴∠ADB=∠ADC=90°, 设 BD=x,则 CD=14﹣x, 2 2 2 2 2 2 在 Rt△ ADB 和 Rt△ ADC 中可得:AD =AB ﹣BD ,AD =AC ﹣CD , 2 2 2 2 ∴AB ﹣BD =AC ﹣CD , 2 2 即 225﹣x =169﹣(14﹣x) , 解得:x=9,
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www.jyeoo.com ∴CD=14﹣x=14﹣9=5, ∴AD= =12,
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∴△ABC 的面积= ?BC?AD=84cm .

点评: 本题考查了勾股定理及三角形的面积,难点在于通过在两个三角形中运用勾股定理表示出 AD 的长,解出 x 的值,关键在于熟练掌握勾股定理在直角三角形中的表示形式及三角形面积的求法. 29. (6 分)小明想知道旗杆的高度,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了 2 米,当他把绳子的下端拉开旗杆底部 8 米时,发现绳子的末端刚好接触地面,求旗杆的高度. 考点: 勾股定理的应用. 分析: 首先根据题意正确化成几何图形,然后根据勾股定理列方程求解. 解答: 解:如图所示,则 AB 即为绳子的长度,AC 即为旗杆的高度.设旗杆的高度是 x 米, 在 Rt△ ABC 中,根据勾股定理,得 2 2 2 x +8 =(x+2) , x=15. 即旗杆的高度是 15 米.
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点评: 此题考查了勾股定理在实际问题中的应用,能够正确理解题意是解决本题的关键. 30. (7 分)“中华人民共和国道路交通管理条例”规定:小汽车在城街路上行驶速度不得超过 70km/h.如图,一辆 小汽车在一条城市街路上直道行驶, 某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪 A 处的正前方 30m 的 C 处, 过了 2s 后, 测得小汽车与车速检测仪间距离为 50m,这辆小汽车超速了吗?(参考数据转换:1m/s=3.6km/h)

考点: 勾股定理的应用. 专题: 应用题. 分析: 本题求小汽车是否超速,其实就是求 BC 的距离,直角三角形 ABC 中,有斜边 AB 的长,有直角边 AC 的 长,那么 BC 的长就很容易求得,根据小汽车用 2s 行驶的路程为 BC,那么可求出小汽车的速度,然后再判 断是否超速了. 解答: 解:在 Rt△ ABC 中,AC=30m,AB=50m; 据勾股定理可得:
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www.jyeoo.com (m) ∴小汽车的速度为 v= =20m/s=20×3.6km/h=72km/h;

∵72km/h>70km/h; ∴这辆小汽车超速行驶. 点评: 本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题,可把条件和问题放到直角三角形中,进行解决.要注 意题目中单位的统一.

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www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有:zhjh;kuaile;张超。 ;cook2360;wdxwwzy;sd2011;王岑;心若在;lanyan;ljj; MMCH;星期八;dbz1018;zyc;CJX;lf2-9;cair。 ;ZJX;未来;py168;Linaliu;ln_86;算术;sjzx;开心;caicl (排名不分先后)
菁优网 2014 年 4 月 10 日

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